Question

如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，则称这个点为“好点”，在下面六个点M(1，1)，N(1，2)，P(

1

2

，

1

2

)，Q(2，1)，G(2，2)，H(2，

1

2

)中“好点”的个数为

3

．

Answer 1

分析：利用对数函数的性质，易得M，N不是好点，利用指数函数的性质，易得Q不是好点，利用“好点”的定义，我们易构造指数方程和对数方程，得到P（

1

2

，

1

2

），G（2，2），
H（2，0.5）是三个点是好点，从而得到答案．

解答：解：当x=1时，对数函数y=log_ax（a＞0，a≠1）恒过（1，0）点，故M（1，1），N（1，2），一定不是好点．
当y=1时，指数函数y=a^x（a＞0，a≠1）恒过（0，1）点，故点Q（2，1）也一定不是好点．
而 G（2，2）是函数y=

2

x与y=log

2

x的交点；P（

1

2

，

1

2

）是函数y=x 与y=log

1

4

x 的交点；
H（2，0.5）是函数y=

1 2

x与y=log₄x的交点；故点G、P、H都是“好点”，故好点有3个，
故答案为 3．

点评：本题考查的知识点是指数函数与对数函数的性质，利用指数函数和对数的性质，排除掉不满足“好点”定义的M，N，Q点是解答本题的关键，属于基础题．