Question

14．已知CD是△ABC的边AB上的高，点E、F、G分别是AD、AC、BD的中点，且CD=DB=2，AE=$\sqrt{2}$现沿EF和CD把△AEF和△BCD折起，使A、B两点重合与点P
（Ⅰ）求证：EG∥平面PFC
（Ⅱ）求平面PEC与平面PFC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PC的中点为H，连结GH，通过GH为△PDC的中位线、EF是△ADC的中位线，可得四边形EFHG为平行四边形，利用线面平行的判定定理即得结论；
（Ⅱ）根据题意及勾股定理可以E为原点，分别以EP、ED、EF为x、y、z轴建立空间直角坐标系，所求余弦值即为平面PEC的法向量与平面PFC的法向量的夹角的余弦值，计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：取PC的中点为H，连结GH，
∵G为PD中点，∴GH为△PDC的中位线，
∴GH∥DC且GH=$\frac{1}{2}$DC，
又EF是△ADC的中位线，
∴EF∥CD，EF=$\frac{1}{2}$CD，
∴EF∥GH且EF=GH，
∴四边形EFHG为平行四边形，∴EG∥FH，
又FH?平面PFC，EG?平面PFC，
∴EG∥平面PFC；
（Ⅱ）解：∵EP=ED=$\sqrt{2}$，PD=2，
∴EP²+ED²=PD²，∴EP⊥ED，
∵EP=ED，G为PD的中点，∴EG⊥PD，
又CD⊥AB，∴CD⊥DE，CD⊥PD，∴CD⊥平面PED，
∵EF∥CD，∴EF⊥平面PED，∴EF⊥ED，EF⊥EP，
以E为原点，分别以EP、ED、EF为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则P（$\sqrt{2}$，0，0），F（0，0，1），C（0，$\sqrt{2}$，2），
∴$\overrightarrow{EP}$=（$\sqrt{2}$，0，0），$\overrightarrow{EC}$=（0，$\sqrt{2}$，2），$\overrightarrow{PF}$=（$-\sqrt{2}$，0，1），$\overrightarrow{FC}$=（0，$\sqrt{2}$，1），
设平面PEC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），则$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{EP}$，$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{EC}$，
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{EP}$=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{EC}$=0，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}{x}_{1}=0}\\{\sqrt{2}{y}_{1}+2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，
取z₁=1，则$\overrightarrow{m}$=（0，-$\sqrt{2}$，1），
设平面PFC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
取x₂=1，同理可得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\sqrt{2}$），
设$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴平面PEC与平面PFC所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查中位线定理，线面平行的判定定理，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．