Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求的值域；

（2）当时，函数的图象关于对称，求函数的对称轴．

（3）若图象上有一个最低点，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移1个单位可得的图象，又知的所有正根从小到大依次为，且，求的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

分析：（1）时，值域为，时，利用三角函数的有界性可得结果；（2）由时，函数的图象关于对称，利用辅助角公式可得关于的方程从而可求出的值，进而确定函数的解析式，由两角和的正弦公式将其化为一个角的三角函数，利用正弦函数的对称性求解即可；（3）根据图象上有一个最低点，结合辅助角公式可求得，从而得，由，分类讨论，排除不合题意的，从而可得结果.

详解：（1）当b=0时，函数g（x）=asinx+c．

当a=0时，值域为：{c}．

当a≠0时，值域为：[c﹣|a|，c+|a|]．（

（2）当a=1，c=0时，

∵g（x）=sinx+bcosx 且图象关于x=对称，

∴||=，∴b=﹣．

∴函数 y=bsinx+acosx 即：y=﹣sinx+cosx= cos（x+）．

由 x+=kπ，k∈z，可得函数的对称轴为：x=kπ﹣，k∈z．

（3）由g（x）=asinx+bcosx+c= sin（x+）+c，其中，sin=，cos=．

由g（x）图象上有一个最低点 （，1），所以，

∴，

∴g（x）=（c﹣1）sin（x﹣）+c．

又图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，则f（x）=（c﹣1）sinx+c．

又∵f（x）=3的所有正根从小到大依次为 x1、x2、x3…xn、…，且 xn﹣xn﹣1=3 （n≥2 ），

所以y=f（x）与直线y=3的相邻交点间的距离相等，根据三角函数的图象与性质，直线y=3要么过f（x）的最高点或最低点，要么是y=，

即：2c﹣1=3或 1﹣c+c=3（矛盾）或 =3，解得c=2 或 c=3．

当c=2时，函数的 f（x）=sin+2，T=6．

直线 y=3和 f（x）=sin+2相交，且 xn﹣xn﹣1=3 （n≥2 ），周期为3（矛盾）．

当c=3时，函数 f（x）=2sin+3，T=6．

直线直线 y=3和 f（x）=2sin+3相交，且 xn﹣xn﹣1=3 （n≥2 ），周期为6（满足条件）．

综上：f（x）=2sin+2．