题目内容
【题目】已知四棱锥的底面是等腰梯形,,,,,.
(1)证明:平面平面;
(2)点E是棱PC上一点,且平面,求二面角的正弦值
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)利用勾股定理可以得出,即,由线面垂直的判定定理,证得平面PBD;(2)建立直角坐标系,求出平面EOB、平面AOB的法向量,得出两个法向量的夹角余弦值,进而求得夹角的正弦值.
(1)证明:等腰梯形中,
又,∴,∴.
∴,∴,即
又∵,且,∴平面,
又∵平面,∴平面平面
(2)连接,由(1)知,平面,∴
∴
∴,即
如图,以OA,OB,OP所在直线分别为x轴,y轴z轴建立空间直角坐标系
则,,平面的法向量
∵平面,平面
平面平面,∴,
设平面EOB的法向量为,则⊥,即,
⊥⊥,
令,则
∴,
∴所求二面角的正弦值是.
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