Question

设椭圆的离心率为，其左焦点与抛物线的焦点相同．
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）若过此椭圆的右焦点F的直线l与曲线C只有一个交点P，则
（1）求直线l的方程；
（2）椭圆上是否存在点M（x，y），使得，若存在，请说明一共有几个点；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由抛物线的标准方程即可得到焦点坐标，即得到椭圆的左焦点，再利用离心率即可得出b，进而求出a及椭圆标准方程；
（II）（1）过此椭圆的右焦点F的直线l与曲线C只有一个交点P分与对称轴平行（或重合）与相切两种情况考虑即可得出；
（2）由（1）可求出点P的坐标是（0，0）或（-1，2）或（-1，-2）．分次三种情况讨论：求出|PF|，再求出点M到直线l的距离即可．
解答：解：（Ⅰ）抛物线C的焦点为E（-1，0），它是椭圆的左焦点．离心率为，
∴b=2．
由b²-a²=1²求得．
因此，所求椭圆的方程为（*）
（Ⅱ）（1）椭圆的右焦点为F（1，0），过点F与y轴平行的直线显然与曲线C没有交点．设直线l的斜率为k，
①若k=0，则直线y=0过点F（1，0）且与曲线C只有一个交点（0，0），此时直线l的方程为y=0；
②若k≠0，因直线l过点F（1，0），故可设其方程为y=k（x-1），将其代入y²=-4x消去y，得k²x²-2（k²-2）x+k²=0．
因为直线l与曲线C只有一个交点P，所以判别式4（k²-2）²-4k²•k²=0，于是k=±1，从而直线l的方程为y=x-1或y=-x+1．
因此，所求的直线l的方程为y=0或y=x-1或y=-x+1．
（2）由（1）可求出点P的坐标是（0，0）或（-1，2）或（-1，-2）．
①若点P的坐标是（0，0），则PF=1．
于是=，从而y=±1，代入（*）式联立：或，求得，
此时满足条件的点M有4个：．
②若点P的坐标是（-1，2），则，点M到直线l：y=-x+1的距离是，
于是有，从而，
与（*）式联立：或
解之，可求出满足条件的点M有4个：，，，．
③若点P的坐标是（-1，-2），则，
点M（x，y）到直线l：y=x-1的距离是，
于是有，从而，
与（*）式联立：或，
解之，可求出满足条件的点M有4个：，，，．
综合①②③，以上12个点各不相同且均在该椭圆上，因此，满足条件的点M共有12个．图上椭圆上的12个点即为所求．
点评：本题综合考查了椭圆、抛物线的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线相交相切问题及其三角形的面积，需要较强的推理能力和计算能力及数形结合的能力．