题目内容
【题目】在三棱锥P﹣ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
取PB中点M，连结CM，得到AC⊥平面PBC，设点A到平面PBC的距离为h＝AC＝2x，则CM⊥PB，求出VA﹣PBC
，设t
，（0＜t＜2），从而VA﹣PBC
，（0＜t＜2），利用导数求出三棱锥P﹣ABC体积的最大值.
解：如图，取PB中点M，连结CM，
∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，AC
平面ABC，AC⊥BC，
∴AC⊥平面PBC，
设点A到平面PBC的距离为h＝AC＝2x，
∵PC＝BC＝2，PB＝2x，（0＜x＜2），M为PB的中点，
∴CM⊥PB，CM，
解得
，
所以VA﹣PBC
，
设t，（0＜t＜2），则x2＝4﹣t2，
∴VA﹣PBC
，（0＜t＜2），
关于t求导，得
，
所以函数在
单调递增，在
单调递减.
所以当t
时，（VA﹣PBC）max
.
故选：D.
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