Question

[x]表示不超过x的最大整数，定义函数f（x）=x-[x]．则下列结论中正确的有

②④

①函数f（x）的值域为[0，1]
②方程f(x)=

1

2

有无数个解
③函数f（x）的图象是一条直线  
④函数f（x）在区间[k，k+1）（k∈Z）上是增函数．

Answer 1

分析：因为[x]表示不超过x的最大整数，研究函数的周期性和值域，据此画出函数的图象，从而使问题得到解决．

解答：解：∵{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，
∴函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，
当0≤x＜1时，{x}=x-[x]=x-0=x，
∴函数{x}的值域为[0，1），故①错误；
当x=

1

2

时，{x}=

1

2

，又∵函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，
∴x=

1

2

+k时（k∈Z），{x}=

1

2

，∴②是正确的，

由上图可知③错误；④正确．
故答案为：②④

点评：本题考查新定义的情况下，对函数的性质的应用，数形结合是就问题的关键，属基础题．