题目内容

如图,设F是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点,MN为椭圆的长轴,|MN|=8,焦距为2c,对于点P(-
a2
c
,0
)有|PM|=2|MF|
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)求证:对于任意的割线PAB,恒有∠AFM=∠BFN.
分析:(Ⅰ)由|MN|=8,知a=4,由|PM|=2|MF|,得
a2
c
-a=2(a-c),由此能求出椭圆的标准方程.
(Ⅱ)当AB的斜率为0时,∠AFM=∠BFM=0,满足题意.当AB方程为x=my-8,代入椭圆方程得(3m2+4)y2-48my+144=0,由kAF+kBF=0,得到∠AFM=∠BFN.
故恒有∠AFM=∠BFN.
解答:解:(Ⅰ)解:(1)∵线段MN为椭圆的长轴,且|MN|=8,∴a=4
∵|PM|=2|MF|,
a2
c
-a=2(a-c)
∴a2-ac=2ac-2c2
∴2e2-3e+1=0,
解得e=
1
2
或e=1(舍去)
∴c=2,b2=a2-c2=12,
∴椭圆的标准方程为
x2
16
+
y2
12
=1.
(2)当AB的斜率为0时,显然∠AFM=∠BFM=0,满足题意.
当AB方程为x=my-8,代入椭圆方程整理得
(3m2+4)y2-48my+144=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
y1+y2=
48m
3m2+4
y1y2=
144
3m2+4

∴kAF+kBF=
y1
x1+2
+
y2
x2+2
=
y1
my1-6
+
y2
my2-6
=
2my1y2-6(y1+y2)
(my1-6)(my2-6)
=
288m
3m2+4
-
288m
3m2+4
(my1-6)(my2-6)
=0
∴kAF+kBF=0,从而∠AFM=∠BFN  综上可知,恒有∠AFM=∠BFN.
点评:本题考查直线与椭圆的综合运用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
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