Question

如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E、F分别在线段AB、AC上，且EF∥BC，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使得二面角P-EF-B的大小为60°．
（1）求证：EF⊥PB；
（2）当点E为线段AB的中点时，求PC与平面BCFE所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）欲证EF⊥PB，可先证EF⊥平面PEB，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证EF与平面PEB内两相交直线垂直，而EF⊥EB，EF⊥EP，EB∩EP=E，满足定理条件；
（2）过点P作PD⊥EB交EB于D，连接DC，根据线面所成角的定义可知∠PCD是PC与平面BCFE所成的角，根据∠PEB是二面角P-EF-B的平面角求出PD，在Rt△PCD中求出此角正切值即可．

解答：解：（1）证明：在Rt△ABC中，EF∥BC，
∴EF⊥AB．
∴EF⊥EB，EF⊥EP．
又∵EB∩EP=E，
∴EF⊥平面PEB．
又∵PB?平面PEB，
∴EF⊥PB．

（2）过点P作PD⊥EB交EB于D，连接DC．
∵EF⊥平面PEB，PD?平面PEB，
∴EF⊥PD．
∵EF∩EB=E，
∴PD⊥平面BCFE．
∴CD是PC在平面BCFE内的射影．
∴∠PCD是PC与平面BCFE所成的角．
∵点E为线段AB的中点，AB=BC=4，
∴PE=EB=2．
∵EF⊥EB，EF⊥EP，
∴∠PEB是二面角P-EF-B的平面角．
∵二面角P-EF-B的大小为60°，
∴∠PEB=60°．
在Rt△PDE中，PD=PE•sin60°=

3

，DE=PE•cos60°=1
∴BD=1．
在Rt△DBC中，DC=

12+42

=

17

．
∴在Rt△PCD中，tan∠PCD=

PD

DC

=

51

17

．
∴PC与平面BCFE所成角的大小为arctan

51

17

．

点评：本题主要考查了直线与平面所成的角，以及二面角及其度量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．