Question

若(x2-

1

ax

)9(a∈R)的展开式中x⁹的系数是-

21

2

．
（1）求展开式中的常数项；
（2）求

∫

a 0

(sinx+2sin2

x

2

)dx的值．

Answer 1

分析：（1）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于9，求得r的值，可得展开式中x⁹的项．再根据此项的系数是-

21

2

，可得a的值．再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．
（2）原式=

∫

2 0

(sinx+2sin2

x

2

)dx=

∫

2 0

(sinx+1-cosx)dx，再利用定积分公式求得结果．

解答：解：（1）通项公式为 Tr+1=C9r(x2)9-r(-

1

ax

)r=(-

1

a

)rC9rx18-3r，令18-3r=9，∴r=3，∴含x⁹的项的系数为 (-

1

a

)3C93=-

21

2

，∴a=2．…（4分）
再令18-3r=0，可得t=6，因此展开式中的常数项为T7=

21

16

．…（6分）
（2）原式=

∫

2 0

(sinx+2sin2

x

2

)dx=

∫

2 0

(sinx+1-cosx)dx=(-cosx+x-sinx)

|

2 0

=3-sin2-cos2．…（10分）

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，求定积分，属于中档题．