题目内容

已知数列{an}的前n项和Sn=-an-(
1
2
)n-1+2
(n为正整数).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令cn=
n+1
n
an
,Tn=c1+c2+…+cn,求Tn的值.
(1)在Sn=-an-(
1
2
)n-1+2
中,
令n=1,可得S1=-a1-1+2=a1
a1=
1
2

当n≥2时,Sn-1=-an-1-(
1
2
)n-2+2

an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(
1
2
)n-1

2an=an-1+(
1
2
)n-1,即2nan=2n-1an-1+1

∵bn=2nan,∴bn=bn-1+1,
即当n≥2时,bn-bn-1=1.
又b1=2a1=1,
∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.
于是bn=1+(n-1)•1=n=2nan
an=
n
2n

(2)由(1)得cn=
n+1
n
an=(n+1)(
1
2
)n

所以Tn=2×
1
2
+3×(
1
2
)2+4×(
1
2
)3+…+(n+1)(
1
2
)n
1
2
Tn=2×(
1
2
)2+3×(
1
2
)3+4×(
1
2
)4+…+(n+1)(
1
2
)n+1

由①-②得
1
2
Tn=1+(
1
2
)2+(
1
2
)3+…+(
1
2
)n-(n+1)(
1
2
)n+1

=1+
1
4
[1-(
1
2
)
n-1
]
1-
1
2
-(n+1)(
1
2
)n+1=
3
2
-
n+3
2n+1
Tn=3-
n+3
2n
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