Question

【题目】已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：方程（2x）2+m2x+1=0仅有一个实根，设2x=t（t＞0），则t2+mt+1=0有且只有一个正实数根，考虑应用判别式，分判别式大于0和等于0两种情况

试题解析：∵f（x）＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，

即方程（2x）2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．

设2x＝t（t＞0），则t2＋mt＋1＝0.

当Δ＝0时，即m2－4＝0.

∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1（不合题意，舍去），

∴2x＝1，x＝0符合题意．

当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2时，

t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，

即f（x）有两个零点或没有零点．

∴这种情况不符合题意．

综上可知：m＝－2时，f（x）有唯一零点，该零点为x＝0.