Question

①若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，θ∈（

π

4

，

π

2

），则f（sinθ）＞f（cosθ）；
②若锐角α、β满足cosα＞sinβ 则α+β＜

π

2

；
③在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充要条件；
④要得到函数y=sin(

x

2

-

π

4

)的图象，只需将y=sin

x

2

的图象向右平移

π

4

个单位．
其中是真命题的有

②③

（填写正确命题题号）

Answer 1

分析：根据偶函数的轴对称性，可判断函数的单调性，来判断f（sinθ）、f（cosθ）的大小；利用三角函数的单调区间，由函数值的大小，判断角的大小．

解答：解：∵θ∈（

π

4

，

π

2

），1＞sinθ＞cosθ＞0，∵f（x）是[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，∴f（x）在[0，1]上是减函数，∴f（sinθ）＜f（cosθ），∴①×；
∵α、β为锐角，

π

2

-α为锐角，cosα=sin（

π

2

-α）＞sinβ，y=sinx在[0，

π

2

]递增，∴

π

2

-α＞β，α+β＜

π

2

，②√；
∵在△ABC中，若A＜

π

2

，∵

π

2

＞A＞B＞0⇒sinA＞sinB；若A＞

π

2

，∵A+B＜π，∴0＜B＜π-A＜

π

2

，sinB＜sinA，∴满足充分性；
反过来sinA＞sinB，若A、B∈（0，

π

2

]，A＞B；若A、B有一个为钝角，设B＞

π

2

，sinA＞sinB=sin（π-B），A+B＞π与△ABC中，A+B+C=π矛盾，∴B＜

π

2

，∴A为钝角，A＞B，满足必要性．③√：
∵函数y=sin（

x

2

-

π

4

）=sin

1

2

（x-

π

2

）可由y=sin

x

2

向左平移

π

2

单位或向右平移4kπ-

π

2

个单位得到，∴④×
故答案是②③

点评：本题考查三角函数的性质及应用、图象变化规律、及充要条件的判断等知识，尤其是充要条件的判断，既要判断充分性，又要判断必要性．另三角函数单调性的应用一定要讨论角的范围．