题目内容
7.已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)<4解集为M(1)求M;
(2)若不等式f(x)+a<0有解,求a的取值范围.
分析 (1)用零点分段法解不定式,①当x≥1时,x+1+x-1<4;②当-1≤x<1时,x+1-x+1<4);③当x<-1时,-x-1-x+1<4;
(2)因为不等式f(x)+a<0有解,所以,f(x)min+a<0,再求最小值即可.
解答 解:(1)用零点分段法解不定式,
①当x≥1时,x+1+x-1<4,解得x∈[1,2);
②当-1≤x<1时,x+1-x+1<4恒成立,x∈[-1,1);
③当x<-1时,-x-1-x+1<4,解得x∈(-2,-1);
综合以上讨论得,a∈(-2,2);
(2)因为不等式f(x)+a<0有解,
所以,f(x)min+a<0,
根据绝对值三角不等式,|x-1|+|x+1|≥|(x-1)-(x+1)|=2,
即f(x)min=2,所以,2+a<0,解得a<-2,
即实数a的取值范围为(-∞,-2).
点评 本题主要考查了绝对值不等式的解法,以及绝对值三角不等式的应用,属于中档题.
练习册系列答案
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