Question

7．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}x+{a}^{2}-k，（x≥0）}\\{{x}^{2}+（{a}^{2}+4a）x+（3-a）^{2}，（x＜0）}\end{array}\right.$，其中a∈R，若对任意的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₁≠x₂），使得f（x₁）=f（x₂）成立，则k的取值范围为（　　）

• A． R
• B． [-4，0]
• C． [9，33]
• D． [-33，-9]

Answer 1

分析 由于函数f（x）是分段函数，且对任意的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，可得函数必须为连续函数，即在x=0时，两段的函数值相等，且函数在y轴两次必须是单调的，进而可得答案．

解答 解：由于函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}x+{a}^{2}-k，（x≥0）}\\{{x}^{2}+（{a}^{2}+4a）x+（3-a）^{2}，（x＜0）}\end{array}\right.$，其中a∈R，
则x=0时，f（x）=a²-k，
又由对任意的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立
∴函数必须为连续函数，即在x=0时，两段的函数值相等，
∴（3-a）²=a²-k，即-6a+9+k=0，即k=6a-9，
且函数在y轴两侧必须是单调的，
∴二次函数的对称轴x=-$\frac{{a}^{2}+4a}{2}$≥0，
解得：-4≤a≤0，
∴-33≤6a-9≤-9，
∴k∈[-33，-9]，
故选：D

点评 本题考查了存在性问题，分段函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，不等式的基本性质，是函数与不等式的综合应用，难度中档．