Question

8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成公差为1的等差数列，C=2A．
（1）求a，b，c的值；
（2）求$\overrightarrow{AC}在\overrightarrow{CB}$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）由a，b，c成公差为1的等差数列，C=2A．可分别设为b-1，b，b+1，由正弦定理可得：$cosA=\frac{b+1}{2（b-1）}$．又由余弦定理可得：（b-1）²=（b+1）²+b²-2b（b+1）•$\frac{b+1}{2（b-1）}$，化为b²-5b=0，b＞1，解得b．即可得出．
（2）由（1）可知：cosA=$\frac{3}{4}$，可得cosC=cos2A=2cos²A-1．由于$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{CB}$的夹角为（π-C），可得$\overrightarrow{AC}在\overrightarrow{CB}$方向上的投影=$|\overrightarrow{AC}|$cos（π-C）．

解答 解：（1）∵a，b，c成公差为1的等差数列，C=2A．
∴可分别设为b-1，b，b+1，由正弦定理可得：$\frac{b-1}{sinA}=\frac{b+1}{sinC}$=$\frac{b+1}{sin2A}$，化为$cosA=\frac{b+1}{2（b-1）}$．
又由余弦定理可得：（b-1）²=（b+1）²+b²-2b（b+1）•$\frac{b+1}{2（b-1）}$，化为b²-5b=0，b＞1，解得b=5．
∴a，b，c的值分别为4，5，6．
（2）由（1）可知：cosA=$\frac{3}{4}$，
∴cosC=cos2A=2cos²A-1=$\frac{1}{8}$．
∵$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{CB}$的夹角为（π-C），
∴$\overrightarrow{AC}在\overrightarrow{CB}$方向上的投影=$|\overrightarrow{AC}|$cos（π-C）=5×（-cosC=）=-$\frac{5}{8}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、数量积运算性质及其投影、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．