Question

多面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的直观图，主视图，俯视图，左视图如图所示．

（1）求A₁A与平面ABCD所成角的正切值；
（2）求面AA₁D₁与面ABCD所成二面角的余弦值；
（3）求此多面体的体积．

Answer 1

分析：（1）先寻找直线与平面的所成角，取AB中点H，连接A₁H，根据线面所成角的定义可知∠A₁AB是A₁A与平面ABCD所成的角，在三角形A₁AB中求出此角的正切值即可；
（2）先寻找二面角的平面角，取AD中点K，连接D₁K，KH，取HK的中点M，取A₁D₁的中点N，连接MN，AM，AN，根据二面角平面角的定义可知∠MAN就是面AA₁D₁与面ABCD所成的二面角，然后在三角形MAN中求出此角的余弦值即可．
（3）根据该多面体为长方体削去四个全等的三棱锥，先求出三棱锥的体积，然后利用长方体的体积减去四个全等的三棱锥的体积即可求出所求．

解答：解：（1）由已知图可得，平面A₁AB⊥平面ABCD，取AB中点H，连接A₁H，
在等腰△A₁AB中，有A₁H⊥AB，则A₁H⊥平面ABCD．
∴∠A₁AB是A₁A与平面ABCD所成的角．
∵A₁H=2AH，∴tan∠A1AB=

A1H

AH

=2．
故A₁A与平面ABCD所成角的正切值为2．
（2）解：取AD中点K，连接D₁K，KH，
同理有D₁K⊥平面ABCD，即△AHK是△AA₁D₁在平面ABCD内的射影．
取HK的中点M，取A₁D₁的中点N，连接MN，AM，AN，
则∠MAN就是面AA₁D₁与面ABCD所成的二面角．
∵MN=a，AM=

2

4

a，∴tan∠MAN=

MN

AM

=2

2

．即cos∠MAN=

1

3

．
∴面AA₁D₁与面ABCD所成二面角的余弦值为

1

3

．
（3）∵该多面体为长方体削去四个全等的三棱锥，
每个三棱锥的体积都为

1

3

•

1

2

•

a

2

•

a

2

•a=

1

24

a3．
∴此多面体的体积V=a3-4•

1

24

a3=

5

6

a3．

点评：本题考查了线面所成角、二面角的度量和多面体的体积等有关知识，体积的求解在最近两年高考中频繁出现，值得重视．