Question

已知函数f（x）=ln（3-x）+ax+1．
（1）若函数f（x）在[0，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）在[0，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）对函数进行求导，根据导函数大于等于0在[0，2]上恒成立可得答案．
（2）先得出当x∈[0，2]时，

1

x-3

∈[-1，-

1

3

]下面对a进行分类讨论：①当a≤

1

3

时，②当

1

3

＜a＜1时，③当a≥1时，分别求得函数f（x）在[0，2]上的最大值，最后在总结即可．

解答：解：f′（x）=

1

x-3

+a
（1）只要在x∈[0，2]上f'（x）≥0恒成立，?a≥

1

3-x

而

1

3-x

∈[

1

3

，1]，∴a≥1                            （5分）
（2）∵当x∈[0，2]时，

1

x-3

∈[-1，-

1

3

]
∴①当a≤

1

3

时，f′（x）≤0，这时f（x）在[0，2]上单调递减，
f（x）≤f（0）=1+ln3（7分）
②当

1

3

＜a＜1时，令f′（x）=0，可解得x=3-

1

a

，
∵当x∈[0，3-

1

a

]时，有f′（x）＞0
当x∈[3-

1

a

，2]时，有f′（x）＜0，
∴x=3-

1

a

是f（x）在[0，2]上的唯一的极大值，
则f（x）≤f（3-

1

a

）=3a-lna     （10分）
③当a≥1时，f'（x）≥0，这时f（x）在[0，2]上单调递增，
f（x）≤f（2）=2a+1                  （12分）
综上所述：f(x)max=

1+ln3 3a-lna 2a+1

(a≤ 1 3 ) ( 1 3 ＜a＜1) (a≥1)

（13分）

点评：本题主要考查利用导数求函数的单调性，考查分离参数法求恒成立问题．本题考查了函数单调性和导数的关系以及利用导数求出最值，第（2）要注意分情况求最值，属于中档题．