题目内容
方程lnx-x-a=0在x∈（0，+∞）上有解，则实数a的取值范围是 ．
分析：将方程转化为函数，利用导数求函数的极值和最值即可得到结论．
解答：解：由lnx-x-a=0得a=lnx-x，
设f（x）=lnx-x，
则f'（x）=
-1=
，
由f'（x）＞0得0＜x＜1，此时函数单调递增，
由f'（x）＜0得x＞1，此时函数单调递减，
即当x=1时，函数取得极大值，同时也是最大值为f（1）=ln1-1=-1．
∴要使方程lnx-x-a=0在x∈（0，+∞）上有解，
则a≤-1．
故答案为：a≤-1．
设f（x）=lnx-x，
则f'（x）=
| 1 |
| x |
| 1-x |
| x |
由f'（x）＞0得0＜x＜1，此时函数单调递增，
由f'（x）＜0得x＞1，此时函数单调递减，
即当x=1时，函数取得极大值，同时也是最大值为f（1）=ln1-1=-1．
∴要使方程lnx-x-a=0在x∈（0，+∞）上有解，
则a≤-1．
故答案为：a≤-1．
点评：本题主要考查方程和函数关系的应用，利用导数研究函数的极值是解决本题的关键．
练习册系列答案
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若关于x的方程lnx-x-a=0恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围是（ ）
| A、（-∞，-1] | B、（-∞，-1） | C、[-1，+∞） | D、（-1，+∞） |