Question

已知函数f（x）=（x²+2x）•e^-x，关于f（x）给出下列四个命题：
①x∈（-2，0）时，f（x）＜0；
②x∈（-1，1）时，f（x）单调递增；
③函数f（x）的图象不经过第四象限；
④f（x）=

1

2

有且只有三个实数解．
其中全部真命题的序号是

①、②、③、④

．

Answer 1

分析：①x∈（-2，0）时，考察x²+2x的函数值，即可判断函数f（x）的值的正负；②利用导数研究函数的单调性，先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间．利用②的结论结合函数的最值，研究函数的图象特征，从而得出③函数f（x）的图象不经过第四象限；④f（x）=

1

2

有且只有三个实数解．

解答：解：①x∈（-2，0）时，x²+2x=x（x+2）＜0，而e^-x＞0，
∴f（x）＜0，故①正确；
②∵f′（x）=-e^-x（x²+2x）+e^-x（2x+2）=-e^-x（x²-2），
∴f（x）的单调递增区间为（-

2

，

2

），单调递减区间为（-∞，-

2

），（

2

，+∞）．
∴x∈（-1，1）时，f（x）单调递增．②正确，
又当x=

2

时，函数取得最大值（2+2

2

）e -

2

＞0.5，
当x=-

2

时，函数取得最大值（2-2

2

）e 

2

＜-3，
当x=0时，函数取值0，当x＞0时，f（x）＞0．
根据函数的单调性及特殊函数值，画出函数f（x）的图象，如图所示，则③函数f（x）的图象不经过第四象限；正确；
④f（x）=

1

2

有且只有三个实数解；正确．
故答案为：①、②、③、④．

点评：本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．属于基础题．