Question

【题目】已知过点A(1,m)恰能作曲线f(x)=x3-3x的两条切线,则m的值是_____.

Answer 1

【答案】-3或-2

【解析】设切点为(a,a3-3a).

∵f(x)=x3-3x,

∴f'(x)=3x2-3,

∴切线的斜率k=3a2-3,

由点斜式可得切线方程为y-(a3-3a)=(3a2-3)(x-a).

∵切线过点A(1,m),

∴m-(a3-3a)=(3a2-3)(1-a),

即2a3-3a2=-3-m.

∵过点A(1,m)可作曲线y=f(x)的两条切线,

∴关于a的方程2a3-3a2=-3-m有两个不同的根.

令g(x)=2x3-3x2,

∴g'(x)=6x2-6x.

令g'(x)=0,解得x=0或x=1,

当x<0时,g'(x)>0,当0<x<1时,g'(x)<0,当x>1时,g'(x)>0,

∴g(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,

∴当x=0时,g(x)取得极大值g(0)=0,当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=-1.

关于a的方程2a3-3a2=-3-m有两个不同的根,等价于y=g(x)与y=-3-m的图象有两个不同的交点,

∴-3-m=-1或-3-m=0,解得m=-3或m=-2,

∴实数m的值是-3或-2.