Question

关于x的方程（x²-4）²-4|x²-4|+k=0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有6个不同的实根；
⑤存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．
其中真命题的序号是

①②③⑤

（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

分析：将方程的问题转化成函数图象的问题，画出可得．

解答：解：令y=（x²-4）²-4|x²-4|，y=-k
当x≤-2，或x≥2时，y=（x²-4）²-4（x²-4）
当-2＜x＜2时，y=（x²-4）²+4（x²-4）
故y=

(x2-4)2-4(x2-4)       x≤-2，或x≥2 (x2-4)+4(x2-4)         -2＜x＜2

作出两函数的图象，观察k的值与交点的情况得方程解的个数．
当-k＞0，即k＜0时，直线y=-k与函数图象有两个交点，即原方程有两解．故命题①成立．
当-k=0，即k=0时，直线与函数图象有五个交点，即原方程有五解．故命题③成立．
当-4＜k＜0，即0＜k＜4时，直线与函数图象有八个交点，即原方程有八解．故命题⑤成立．
当-k=-4，即k=4时，直线与函数图象有四个交点，即原方程有四解．故命题②成立．
当-k＜-4，即k＞4时，直线与函数图象没有交点．
故正确的是①②③⑤

点评：本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想．