Question

如图，四边形ABCD内接于⊙,是⊙的直径，于点,平分.
（Ⅰ）证明：是⊙的切线
（Ⅱ）如果,求.

Answer 1

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

解析试题分析：（Ⅰ）连结OA，由OA=AD知∠OAD＝∠ODA，由平分知，∠BDA=∠ADE，所以∠ADE＝∠OAD，由内错角相等两直线平行得OA∥CE，因为AE⊥CE，所以OA⊥AE，故AE是圆O的切线；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△ADE∽△BDA，所以＝，即BD＝2AD，所以所以∠ABD＝30°，从而∠DAE＝30°，在直角三角形AED中，求出DE，再由切割线定理得AE²＝ED·EC=ED·（CD+DE），即可求得CD的值.
试题解析：（Ⅰ）连结OA，则OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA，
又∠ODA＝∠ADE，所以∠ADE＝∠OAD，所以OA∥CE．
因为AE⊥CE，所以OA⊥AE．
所以AE是⊙O的切线.                    5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△ADE∽△BDA，
所以＝，即＝，则BD＝2AD，
所以∠ABD＝30°，从而∠DAE＝30°，
所以DE＝AEtan30°＝．
由切割线定理，得AE²＝ED·EC，
所以4＝ (＋CD)，所以CD＝.            10分
考点：切线的判定，相似三角形的判定与性质，切割线定理.