题目内容
已知圆C经过坐标原点,且与直线x-y+2=0相切,切点为A(2,4).(1)求圆C的方程;
(2)过动点P作圆C和圆D:(x+9)2+(y-1)2=50的切线PM、PN(切点分别为M、N),使得|PM|=|PN|,求动点P的轨迹方程.
【答案】分析:(1)依题意可求得直线AC的方程,可求得OA的垂直平分线的方程,二者联立即可求得圆心坐标,从而可得圆C的方程;
(2)依题意,点P的轨迹就是CD垂直平分线.
解答:解:(1)设圆C的圆心为C,依题意得直线AC的斜率kAC=-1,
∴直线AC的方程为y-4=-(x-2),即x+y-6=0.
∵直线OA的斜率kOA=
=2,
∴线段OA的垂直平分线为y-2=-
(x-1),即x+2y-5=0.
解方程组
得圆心C(7,-1).
∴圆C的半径r=|AC|=
=5
,
圆C的方程为(x-7)2+(y+1)2=50.
(2)∵圆C与圆D两圆半径相等,|PM|=|PN|,所以|PC|=|PD|,
∴P在线段CD的中垂线上,
∵C(7,-1),D(-9,1),CD的中点坐标为(-1,0),kCD=8,
∴CD的中垂线方程为:8x-y+8=0.
∴P的轨迹方程为:8x-y+8=0.
点评:本题考查圆的标准方程,考查直线和圆的方程的应用,考查分析与运算能力,属于中档题.
(2)依题意,点P的轨迹就是CD垂直平分线.
解答:解:(1)设圆C的圆心为C,依题意得直线AC的斜率kAC=-1,
∴直线AC的方程为y-4=-(x-2),即x+y-6=0.
∵直线OA的斜率kOA=

∴线段OA的垂直平分线为y-2=-

解方程组

∴圆C的半径r=|AC|=


圆C的方程为(x-7)2+(y+1)2=50.
(2)∵圆C与圆D两圆半径相等,|PM|=|PN|,所以|PC|=|PD|,
∴P在线段CD的中垂线上,
∵C(7,-1),D(-9,1),CD的中点坐标为(-1,0),kCD=8,
∴CD的中垂线方程为:8x-y+8=0.
∴P的轨迹方程为:8x-y+8=0.
点评:本题考查圆的标准方程,考查直线和圆的方程的应用,考查分析与运算能力,属于中档题.

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