Question

一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都与一个球相切，已知该正三棱柱底面的边长为4

3

，则其内切球的体积为（　　）

• A．

  4π

  3

• B．

  8 3 π

  3

• C．

  32π

  3

• D．

  16π

  3

Answer 1

分析：根据题意，内切球的直径等于正三棱柱的高，半径等于底面正三角形的内切圆半径，由此结合底面的边长为4

3

算出球半径r=2，利用球体积公式即可算出内切球的体积．

解答：解：∵正三棱柱的三个侧面和两个底面都与一个球相切，
∴球的直径等于三棱柱的高，且等于底面正三角形的内切圆直径
根据底面边长为4

3

，算出内切圆半径r=2．
由球的体积公式，得内切球的体积为V=

4π

3

πr³=

32π

3

，
故选：C

点评：本题给出正三棱柱有一个内切球，在已知底面边长的情况下求球的体积．着重考查了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识，属于中档题．