题目内容

函数f(x)=1+logax(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-2=0上,其中m>0则
1
m
+
3
n
的最小值为
2+
3
2+
3
分析:由题意可得定点A(1,1),m+n=2,把要求的式子化为
1
2
(m+n)(
1
m
+
3
n
),利用基本不等式求得结果.
解答:解:由对数函数的性质可知,f(x)=1+logax的图象恒过定点A(1,1)
∵点A在直线mx+ny-2=0上,
∴m+n=2
1
m
+
3
n
=
1
2
(m+n)(
1
m
+
3
n
)
=
1
2
(4+
3m
n
+
n
m
)≥
1
2
×
(4+2
3m
n
n
m
)=2+
3

当且仅当
n
m
=
3m
n
m=
3
-1
,m=3-
3
时取“=”
所以
1
m
+
3
n
的最小值为2+
3

故答案为2+
3
点评:本题考查基本不等式的应用,函数图象过定点问题,把要求的式子转化为积为定值,是解题的关键.
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