题目内容
给出以下三个命题，其中所有正确命题的序号为
①设
，
均为单位向量，若|
+
|＞1，则θ∈[0，
)
②函数f （x）=xsinx+l，当x1，x2∈[-
，
]，且|x1|＞|x2|时，有f（x1）＞f（x2），
③已知函数f （x）=|x2-2|，若f （a）=f （b），且0＜a＜b，则动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值为1．
①②
①②
．①设
| a |
| b |
| a |
| b |
| 2π |
| 3 |
②函数f （x）=xsinx+l，当x1，x2∈[-
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
③已知函数f （x）=|x2-2|，若f （a）=f （b），且0＜a＜b，则动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值为1．
分析：①设
与
的夹角为θ，将已知等式平方，结合向量模的含义和单位向量长度为1，化简整理可得
•
=-
，再结合向量数量积的定义和夹角的范围，可得夹角θ的范围．
②先判断函数的奇偶性，易知是偶函数，同时再证明单调性，即可得到结论．
③由题意可得 a2-2=2-b2，从而即可求出a2+b2的值，利用直线与圆的位置关系可得动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值，注意等号成立的条件．
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
②先判断函数的奇偶性，易知是偶函数，同时再证明单调性，即可得到结论．
③由题意可得 a2-2=2-b2，从而即可求出a2+b2的值，利用直线与圆的位置关系可得动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值，注意等号成立的条件．
解答：解：①设
与
的夹角为θ，
∵|
+
|＞1，∴（
+
）2=
2+2
•
+
2＞1…（*）
∵向量
，
均为单位向量，可得|
|=|
|=1
∴代入（*）式，得1+2
•
+1=1＞1，所以
•
＞-
根据向量数量积的定义，得|
|•|
|cosθ＞-
∴cosθ＞-
，结合θ∈[0，π]，得θ∈[0，
)．①正确．
②由已知得f（x）是偶函数，且在区间[0，
]上递增，
由|x1|＞|x2|得f（|x1|）＞f（|x2|），即有f（x1）＞f（x2），②正确；
③∵函数f（x）=|x2-2|，
若0＜a＜b，且f（a）=f（b），
∴b2-2=2-a2，0＜a＜
即 a2+b2=4，0＜a＜
，故动点P（a，b）在圆弧a2+b2=4（0＜a＜
）上，
动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径：d-r=
-2=1，此时点P不在圆弧上，故不正确．
故答案为：①②．
| a |
| b |
∵|
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
∵向量
| a |
| b |
| a |
| b |
∴代入（*）式，得1+2
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
根据向量数量积的定义，得|
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
∴cosθ＞-
| 1 |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
②由已知得f（x）是偶函数，且在区间[0，
| π |
| 2 |
由|x1|＞|x2|得f（|x1|）＞f（|x2|），即有f（x1）＞f（x2），②正确；
③∵函数f（x）=|x2-2|，
若0＜a＜b，且f（a）=f（b），
∴b2-2=2-a2，0＜a＜
| 2 |
即 a2+b2=4，0＜a＜
| 2 |
| 2 |
动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径：d-r=
| 15 |
| 5 |
故答案为：①②．
点评：本题主要考查向量的有关概念、导数的应用、函数的图象及综合应用能力．
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