题目内容

已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，Sn=nan-n（n-1），n∈N*，令bn=
1
an•an+1
，且数列{bn}的前项和为Tn．
（1）求证：数列{an}为等差数列，并写出an关于n的表达式；
（2）若不等式λTn＜
n+8
5
（λ为常数）对任意正整数n均成立，求λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据Sn与an的固有关系an=
s1    n=1
sn-sn-1    n≥2
，得出an-an-1=2，数列{an}为等差数列，并写出an关于n的表达式；
 （2）bn=
1
an•an+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)，裂项后求出Tn，再用分离参数法得出λ ＜
n+8
5Tn
，λ小于
n+8
5Tn
的最小值即可．
（3）假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列，列出关于m，n的方程，研究它的解情况．
解答：解：（1）由Sn=nan-n（n-1），n∈N*①
则当n≥2时，Sn-1=（n-1）an-1-（n-1）（n-2）②
①-②，得an=[nan-n（n-1）]-[（n-1）an-1-（n-1）（n-2）]
整理得，an-an-1=2（n≥2）…（3分）
所以，{an}为等差数列，且公差为2，an=1+2（n-1）=2n-1；                     
（2）bn=
1
an•an+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+(
1
5
-
1
7
)+…+(
1
2n-1
-
1
2n+1
)]=
1
2
(1-
1
2n+1
)=
n
2n+1

若不等式λTn＜
n+8
5
对任意正整数n均成立，则λ＜
1
5
•
(2n+1)(n+8)
n
=
1
5
[2(n+
4
n
)+17]对任意正整数n均成立，
∵n+
4
n
≥4，当且仅当n=2∈N*时取“=”，
∴
1
5
[2(n+
4
n
)+17]的最大值为5∴λ＜5；                                   
（3）假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列
则（Tm）2=T1•Tn，即(
m
2m+1
)2=
1
3
•
n
2n+1

所以，
m2
4m2+4m+1
=
n
6n+3

从而，
4m2+4m+1
m2
=
6n+3
n
=6+
3
n
＞6
所以，2m2-4m-1＜0，即1-
6
2
＜m＜1+
6
2

因为，m∈N*，且m＞1，∴m=2，此时，n=12
故，当且仅当m=2，n=12时，使得T1，Tm，Tn成等比数列．
点评：本题主要考查了等差关系的确定、等差数列的通项公式、数列裂项求和，数列的函数性质、基本不等式应用．考查了学生计算，综合分析问题，解决问题的能力．
练习册系列答案
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19、已知数列{an}的前n项和Sn=n2（n∈N*），数列{bn}为等比数列，且满足b1=a1，2b3=b4
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）求数列{anbn}的前n项和．
已知数列{an}的前n项和Sn=an2+bn（a、b∈R），且S25=100，则a12+a14等于（　　）
A、16B、8C、4D、不确定
已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1，那么它的通项公式为an=
 
．
13、已知数列{an}的前n项和为Sn=3n+a，若{an}为等比数列，则实数a的值为
-1
．
已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=kSn+2，又a1=2，a2=1．
（1）求k的值及通项公式an．
（2）求Sn．

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