题目内容

渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留也适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k＞0）．（空闲率为空闲量与最大养殖量的比值）．
（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
（2）求鱼群年增长量的最大值；
（3）当鱼群的年增长量达到最大值值时，求k的取值范围．

解：（1）由题意，空闲率为 1- $\text{[math]}$ ，
∴y=kx（1- $\text{[math]}$ ），定义域为（0，m）；
（2）由（1）得
y=kx（1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
因为 x∈（0，m），k＞0；
所以当x= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
（3）由题意有 0＜x+y＜m
即：0＜ $\text{[math]}$ ＜m
因为m＞0，解得-2＜k＜2
又k＞0
故k的取取值范围为（0，2）．
分析：（1）由鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k＞0）．我们根据题意求出空闲率，即可得到y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
（2）由（1）中给出的y关于x的函数关系式，我们使用配方法，易分析出鱼群年增长量的最大值；
（3）由（2）的结论，我们可构造出一个关于k的含参数m的不等式，根据m的取值范围，解不等式后即可求出k的取值范围．
点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．