Question

8．若二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足f（x+2）-f（x）=x，且f（0）=1
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若在区间[-1，1]上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由待定系数法解方程组可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）化恒成立为m小于函数y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{5}{2}$x+1在x∈[-1，1]的最小值，由二次函数区间的最值可得．

解答 解：（Ⅰ）∵二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足f（x+2）-f（x）=x，且f（0）=1，
∴f（0）=c=1，f（x+2）-f（x）=a（x+2）²+b（x+2）+1-ax²-bx-1=x，
整理可得（4a-1）x+4a+2b=0，∴4a-1=0且4a+2b=0，
解得a=$\frac{1}{4}$，b=$-\frac{1}{2}$，∴f（x）的解析式为f（x）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+1；
（Ⅱ）∵在区间[-1，1]上，不等式$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+1＞2x+m恒成立，
∴在区间[-1，1]上m＜$\frac{1}{4}$x²-$\frac{5}{2}$x+1恒成立，
只需m小于函数y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{5}{2}$x+1在x∈[-1，1]的最小值，
配方可得y=$\frac{1}{4}$（x-5）²-$\frac{21}{4}$，故当x=1时，y取最小值-$\frac{5}{4}$，
∴实数m的取值范围为m＜-$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查函数解析式求解的待定系数法，涉及恒成立和二次函数区间的最值，属中档题．