题目内容
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=2，BC1=| 2 |
| 2 |
（Ⅰ）在线段CC1上是否存在一点F，使得EF∥平面A1BC1？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由．
（Ⅱ）在线段CC1上是否存在一点F，使得EF⊥BB1？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由．
（ III）当F为CC1的中点时，若AC≤CC1，且EF与平面ACC1A1所成的角的正弦值为
| ||
| 3 |
分析：（I）存在，中点，利用线面平行的判定定理可得结论；
（Ⅱ）存在，当F在靠端点C1一侧的四等分点时．
（III）建立空间直角坐标系，确定平面ACC1A1、平面AA1B的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得到结论．
（Ⅱ）存在，当F在靠端点C1一侧的四等分点时．
（III）建立空间直角坐标系，确定平面ACC1A1、平面AA1B的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得到结论．
解答：解：
（I）存在，中点．
取A1B的中点D，连接ED，DC1，则ED∥AA1，ED=
AA1，
∵F为CC1上的动点，∴ED∥FC1，ED=FC1，
∴四边形DEFC1是平行四边形
∴EF∥DC1，
∴EF?平面A1BC1，DC1?平面A1BC1，
∴EF∥平面A1BC1；
（Ⅱ）存在，当F在靠端点C1一侧的四等分点时．建立如图所示的空间直角坐标系，设A（0，0，b），F（x，1-x，0），则E（-
，0，
），∴
=(x+
，1-x，
)，∵
=(-1，1，0)，
⊥
，∴x=
．
（III）设平面ACC1A1的一个法向量为
1=(x1，y1，z1)
又
=(-1，1，0)，
=(1，0，-b)
则
，
，令z1=1，则
1=(b，b，1)
又
=(1，
，-
)
∴|cos＜
，
＞|=
=
=
…（6分）
解得b=1，或b=
，
∵AC≤CC1∴b=1
∴
1=(1，1，1)
同理可求得平面AA1B的一个法向量
=(1，1，-1)
∴cos＜
，
＞=
=
又二面角C-AA1-B为锐二面角，故余弦值为
．
（I）存在，中点．取A1B的中点D，连接ED，DC1，则ED∥AA1，ED=
| 1 |
| 2 |
∵F为CC1上的动点，∴ED∥FC1，ED=FC1，
∴四边形DEFC1是平行四边形
∴EF∥DC1，
∴EF?平面A1BC1，DC1?平面A1BC1，
∴EF∥平面A1BC1；
（Ⅱ）存在，当F在靠端点C1一侧的四等分点时．建立如图所示的空间直角坐标系，设A（0，0，b），F（x，1-x，0），则E（-
| 1 |
| 2 |
| b |
| 2 |
| EF |
| 1 |
| 2 |
| b |
| 2 |
| CC1 |
| EF |
| CC1 |
| 1 |
| 4 |
（III）设平面ACC1A1的一个法向量为
| n |
又
| CC1 |
| AC |
则
|
|
| n |
又
| EF |
| 1 |
| 2 |
| b |
| 2 |
∴|cos＜
| n1 |
| EF |
|
| ||||
|
|
| b | ||||||||
|
| ||
| 3 |
解得b=1，或b=
| ||
| 2 |
∵AC≤CC1∴b=1
∴
| n |
同理可求得平面AA1B的一个法向量
| n2 |
∴cos＜
| n1 |
| n2 |
| ||||
|
|
| 1 |
| 3 |
又二面角C-AA1-B为锐二面角，故余弦值为
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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