Question

15．函数f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$其中（ω＞0）的最小正周期为π
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的最小值及取得最小值时相应的x值的集合；
（3）求f（x）的对称轴方程；
（4）求f（x）的对称中心坐标；
（5）求f（x）单调递增区间；
（6）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求f（x）的值域：

Answer 1

分析 由题意利用正弦函数的周期性、单调性、以及它的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，求得结果．

解答 解：（1）由函数f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$其中（ω＞0）的最小正周期为π，
可得$\frac{2π}{\frac{ω}{2}}$=π，求得ω=4．
（2）令2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，求得x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，故f（x）的最小值为-2+$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
且取得最小值时相应的x值的集合为{x|x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z}．
（3）令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，故f（x）的图象的对称轴为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
（4）令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，故f（x）的图象的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，$\frac{1}{2}$），k∈Z．
（5）令 2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，故函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（6）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、以及它的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．