题目内容
【题目】圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1: 过点P且离心率为
.
(1)求C1的方程;
(2)若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.
【答案】(1)(2)
或
【解析】分析:(1)求出出三角形的面积,利用基本不等式的性质可得点的坐标,将
的坐标代入双曲线的标准,结合离心率为
与
,列出关于
、
、
的方程组,求出
、
、
,即可得结果;(2)由(1)可得椭圆
的焦点,可设椭圆
的方程为
,把
的坐标代入即可得出方程,由题意可设直线
的方程为
与椭圆方程联立即可得出根与系数的关系,再利用向量垂直与数量积的关系即可得出.
详解:(1)设切点P(x0,y0),(x0>0,y0>0),则切线的斜率为 ,
可得切线的方程为 ,化为x0x+y0y=4.
令x=0,可得 ;令y=0,可得
.
∴切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形的面积S= =
.
∵4= ,当且仅当
时取等号.
∴ .此时P
.
由题意可得 ,
,解得a2=1,b2=2.
故双曲线C1的方程为 .
(2)由(1)可知双曲线C1的焦点(± ,0),即为椭圆C2的焦点.
可设椭圆C2的方程为 (b1>0).
把P 代入可得
,解得
=3,
因此椭圆C2的方程为 .
由题意可设直线l的方程为x=my+ ,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立 ,化为
,
∴ ,
.
∴x1+x2= =
,
x1x2= =
.
,
,
∵ ,∴
,
∴ +
,
∴ ,解得m=
-1或m=
,
因此直线l的方程为: 或
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某机构通过对某企业今年的生产经营情况的调查,得到每月利润(单位:万元)与相应月份数
的部分数据如表:
1 | 4 | 7 | 12 | |
229 | 244 | 241 | 196 |
(1)根据如表数据,请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述与
的变化关系,并说明理由,
,
,
;
(2)利用(1)中选择的函数,估计月利润最大的是第几个月,并求出该月的利润.
【题目】某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取名中学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如表所示.
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | 5 | ||
第2组 | ① | ||
第3组 | 30 | ② | |
第4组 | 20 | ||
第5组 | 10 |
(1)请先求出频率分布表中位置的相应数据,再完成频率分布直方图;
(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第组中用分层抽样抽取名学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试;
(3)在(2)的前提下,学校决定在名学生中随机抽取
名学生接受
考官进行面试,求:第
组至少有一名学生被考官
面试的概率.