Question

（本题14分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于，两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当直线的斜率为1时，求的面积；

（Ⅲ）在线段上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形？

若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(Ⅰ)     (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为．    ----------------1分

∵ 两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，

∴ ．

所求椭圆方程为．                             ---------------- 3分

（Ⅱ）右焦点，直线的方程为．             ----------------4分

设，

由      得  ，解得 ．-----------6分

∴ ．  ----------------8分

（Ⅲ）假设在线段上存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与轴不垂直，所以设直线的方程为． ----9分

由   可得．    

∴． -------10分

．其中

以为邻边的平行四边形是菱形

     ----12分

∴． ----------------1 4分