Question

一个三棱锥的棱长均为2，四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（三棱锥的截面）的面积是（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  3

  2

• C、

  2

• D、

  3

Answer 1

分析：根据球内接正四面体的性质与圆的对称性，可得图中的截面是三棱锥的一条棱与高线所在的平面，即这条棱和与其相对棱的中点构成的三角形．由此作出图形并利用题中的数据加以计算，可得此截面的面积．

解答：解：根据题意，过该球球心的一个截面经过三棱锥的一条棱，且截面为等腰三角形．
因此该截面所在平面与球相交截得球大圆，即球心在此截面内，
由球的对称性可得球心在该三棱锥的高上，
∴该截面是三棱锥的一条棱与高线所在的平面，即这条棱和与其相对棱的中点构成的三角形，
因此设三棱锥D-ABC中，截面三角形为△BDF，其中F为棱AC的中点
∵三棱锥的棱长均为2，∴DF=DF=

3

2

×2=

3

．
取BD的中点E，连结EF，则EF是等腰△BDF底边上的高，
∵EF=

BF2-BE2

=

2

，
∴△BDF的面积为S=

1

2

BD•EF=

1

2

×2×

2

=

2

．
故选：C

点评：本题给出球内接正四面体的一个截面的形状，求该截面的面积．着重考查了正四面体的性质、圆的对称性、勾股定理与三角形的面积计算等知识，属于中档题．