题目内容
若a＞b＞c，则
+
≥
证明：因为（a-c）(
+
)=（a-b+b-c）(
+
)=2+
+
∵a＞b＞c∴a-b＞0，b-c＞0；
∴
+
≥2
=2
∴2+
+
≥4∴（a-c）(
+
)≥4
因为a＞c所以a-c＞0
所以
+
≥
类比上述命题及证明思路，回答以下问题：
①若a＞b＞c＞d，比较
+
+
与
的大小，并证明你的猜想；
②若a＞b＞c＞d＞e，且
+
+
+
≥
恒成立，试猜想m的最大值，并写出猜想过程，不要求证明．
| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
| 4 |
| a-c |
证明：因为（a-c）(
| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
| b-c |
| a-b |
| a-b |
| b-c |
∵a＞b＞c∴a-b＞0，b-c＞0；
∴
| b-c |
| a-b |
| a-b |
| b-c |
|
∴2+
| b-c |
| a-b |
| a-b |
| b-c |
| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
因为a＞c所以a-c＞0
所以
| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
| 4 |
| a-c |
类比上述命题及证明思路，回答以下问题：
①若a＞b＞c＞d，比较
| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
| 1 |
| c-d |
| 9 |
| a-d |
②若a＞b＞c＞d＞e，且
| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
| 1 |
| c-d |
| 1 |
| d-e |
| m |
| a-e |
分析：①由已知中的证明思路，可知不等式的证明是通过将a-c分解为a-b+b-c，展开后利用基本不等式进行证明，类比可得要证得
+
+
≥
，可将a-d分解为a-b+b-c+c-d，展开后利用基本不等式进行证明；
②当式子左边为2项时，右边的分子最大值为4，当式子左边为3项时，右边的分子最大值为9，可猜想当式子左边为4项时，右边的分子最大值为16．
| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
| 1 |
| c-d |
| 9 |
| a-d |
②当式子左边为2项时，右边的分子最大值为4，当式子左边为3项时，右边的分子最大值为9，可猜想当式子左边为4项时，右边的分子最大值为16．
解答：解：①
+
+
≥
，理由如下：
因为（a-d）(
+
+
)=（a-b+b-c+c-d）(
+
+
)=3+
+
+
+
+
+
∵a＞b＞c＞d
∴a-b＞0，b-c＞0，c-d＞0；
∴
+
≥2
=2
同理
+
≥2，
+
≥2
∴3+
+
+
+
+
+
≥9
∴（a-d）(
+
+
)≥9
∵a＞d
∴a-d＞0
∴
+
+
≥
，
②由已知及①中结论，可得
若
+
+
+
≥
恒成立，
则m的最大值为12
| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
| 1 |
| c-d |
| 9 |
| a-d |
因为（a-d）(
| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
| 1 |
| c-d |
| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
| 1 |
| c-d |
| a-b |
| b-c |
| b-c |
| a-b |
| b-c |
| c-d |
| c-d |
| b-c |
| a-b |
| c-d |
| c-d |
| a-b |
∵a＞b＞c＞d
∴a-b＞0，b-c＞0，c-d＞0；
∴
| b-c |
| a-b |
| a-b |
| b-c |
|
同理
| b-c |
| c-d |
| c-d |
| b-c |
| a-b |
| c-d |
| c-d |
| a-b |
∴3+
| a-b |
| b-c |
| b-c |
| a-b |
| b-c |
| c-d |
| c-d |
| b-c |
| a-b |
| c-d |
| c-d |
| a-b |
∴（a-d）(
| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
| 1 |
| c-d |
∵a＞d
∴a-d＞0
∴
| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
| 1 |
| c-d |
| 9 |
| a-d |
②由已知及①中结论，可得
若
| 1 |
| a-b |
| 1 |
| b-c |
| 1 |
| c-d |
| 1 |
| d-e |
| m |
| a-e |
则m的最大值为12
点评：本题考查的知识点是类比推理和归纳推理，是推理类问题的综合应用，难度中档．
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