Question

17．已知α，β∈（$\frac{3π}{4}$，π），sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，sin（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{12}{13}$，则sin（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{33}{65}$．

Answer 1

分析 首先，求解cos（α+β）=$\frac{4}{5}$，cos（$β-\frac{π}{4}$）=-$\frac{5}{13}$，然后，利用角度的拆分，得到sin（α+$\frac{π}{4}$）=sin[（α+β）-（$β-\frac{π}{4}$）]，然后，根据两角差的正弦公式进行展开求解即可．

解答 解：∵α，β∈（$\frac{3π}{4}$，π），sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{3π}{2}＜α+β＜2π$，$\frac{π}{2}＜β-\frac{π}{4}＜\frac{3π}{4}$，
∴cos（α+β）=$\frac{4}{5}$，
cos（$β-\frac{π}{4}$）=-$\frac{5}{13}$，
∵sin（α+$\frac{π}{4}$）=sin[（α+β）-（$β-\frac{π}{4}$）]
=sin（α+β）cos（$β-\frac{π}{4}$）-cos（α+β）sin（$β-\frac{π}{4}$）
=-$\frac{3}{5}×（-\frac{5}{13}）-\frac{4}{5}×\frac{12}{13}$
=-$\frac{33}{65}$．
故答案为：-$\frac{33}{65}$．

点评 本题重点考查了角度的灵活拆分、三角公式的运用等知识，属于中档题．