题目内容
（2013•陕西）已知动点M（x，y）到直线l：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．
（Ⅰ） 求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ） 过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．
（Ⅰ） 求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ） 过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．
分析：（Ⅰ）直接由题目给出的条件列式化简即可得到动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）经分析当直线m的斜率不存在时，不满足A是PB的中点，然后设出直线m的斜截式方程，和椭圆方程联立后整理，利用根与系数关系写出x1+x2，x1x2，结合2x1=x2得到关于k的方程，则直线m的斜率可求．
（Ⅱ）经分析当直线m的斜率不存在时，不满足A是PB的中点，然后设出直线m的斜截式方程，和椭圆方程联立后整理，利用根与系数关系写出x1+x2，x1x2，结合2x1=x2得到关于k的方程，则直线m的斜率可求．
解答：解：（Ⅰ）点M（x，y）到直线x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍，则
|x-4|=2
，即（x-4）2=4[（x-1）2+y2]，
整理得
+
=1．
所以，动点M的轨迹是椭圆，方程为
+
=1；
（Ⅱ）P（0，3），设A（x1，y1），B（x2，y2），由A是PB的中点，得2x1=0+x2，2y1=3+y2．
椭圆的上下顶点坐标分别是(0，
)和(0，-
)，经检验直线m不经过这两点，即直线m的斜率k存在．
设直线m的方程为：y=kx+3．
联立
，
整理得：（3+4k2）x2+24kx+24=0．
x1+x2=
，x1x2=
．
因为2x1=x2．
则
+
=
+2，得
=
，
所以
=
．
即
=
，解得k=±
．
所以，直线m的斜率k=±
．
|x-4|=2
| (x-1)2+y2 |
整理得
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
所以，动点M的轨迹是椭圆，方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）P（0，3），设A（x1，y1），B（x2，y2），由A是PB的中点，得2x1=0+x2，2y1=3+y2．
椭圆的上下顶点坐标分别是(0，
| 3 |
| 3 |
设直线m的方程为：y=kx+3．
联立
|
整理得：（3+4k2）x2+24kx+24=0．
x1+x2=
| -24k |
| 3+4k2 |
| 24 |
| 3+4k2 |
因为2x1=x2．
则
| x1 |
| x2 |
| x2 |
| x1 |
| 1 |
| 2 |
| (x1+x2)2-2x1x2 |
| x1x2 |
| 5 |
| 2 |
所以
(
| ||||
|
| 5 |
| 2 |
即
| (-24k)2 |
| (3+4k2)•24 |
| 9 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
所以，直线m的斜率k=±
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查了曲线方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解，是中档题．
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