Question

2．已知二次函数满足f（0）=-1，且对任意x都有f（x+1）=f（x）+2x+1，又g（x）=x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若当x∈[1，2]时，不等式f（x）≥t[g（x）-1]恒成立，求实数t的取值范围；
（3）设函数F（x）=$\frac{f（x）+1+a}{g（x）-1}$+b，若对任意a∈[$\frac{1}{2}$，2]，不等式F（x）≤10在x∈[$\frac{1}{4}$，1]上恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用待定系数法，设二次函数f（x）=mx²+nx+t，由条件得到方程，解方程可得系数，进而得到解析式；
（2）由题意可得x²-1≥tx，即t≤x-$\frac{1}{x}$在x∈[1，2]恒成立，求得右边函数的最小值，即可得到t的范围；
（3）化简F（x），由x+$\frac{a}{x}$+b≤10在任意a∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，运用一次函数的单调性又对x∈[$\frac{1}{4}$，1]恒成立，运用单调性求得最大值，可得b的不等式，进而得到b的范围．

解答 解：（1）设二次函数f（x）=mx²+nx+t，
由f（0）=-1可得t=-1，
对任意x都有f（x+1）=f（x）+2x+1，可得
m（x+1）²+n（x+1）+t=mx²+nx+t+2x+1，
可得2m=2，m+n=1，解得m=1，n=0，
则f（x）=x²-1；
（2）当x∈[1，2]时，不等式f（x）≥t[g（x）-1]恒成立，
即为x²-1≥tx，即t≤x-$\frac{1}{x}$在x∈[1，2]恒成立，
由x-$\frac{1}{x}$在x∈[1，2]递增，可得x=1取得最小值0，
即有t≤1；
（3）函数F（x）=$\frac{f（x）+1+a}{g（x）-1}$+b=$\frac{{x}^{2}+a}{x}$+b=x+$\frac{a}{x}$+b，
不等式F（x）≤10在x∈[$\frac{1}{4}$，1]上恒成立，即为
x+$\frac{a}{x}$+b≤10在任意a∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，
即有x+$\frac{1}{2x}$≤10-b且x+$\frac{2}{x}$≤10-b，
又对x∈[$\frac{1}{4}$，1]恒成立，即有
$\frac{1}{4}$+2≤10-b且$\frac{1}{4}$+8≤10-b，
即为b≤$\frac{31}{4}$且b≤$\frac{7}{4}$，
解得b≤$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查函数的解析式的求法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．