Question

如图，公园内有一块边长为2a的正三角形ABC空地，拟改建成花园，并在其中建一直道DE方便花园管理．设D、E分别在AB、AC上，且DE均分三角形ABC的面积．
（1）设AD=x（x≥a），DE=y，试将y表示为x的函数关系式；
（2）若DE是灌溉水管，为节约成本，希望其最短，DE的位置应在哪里？若DE是参观路线，希望其最长，DE的位置应在哪里？

Answer 1

（1）因为DE均分三角形ABC的面积，
所以xAE=

1

2

(2a)2，即AE=

2a2

x

．
在△ADE中，由余弦定理得y=

x2+ 4a4 x2 -2a2

．
因为0≤AD≤2a，0≤AE≤2a，所以

0≤x≤2a 0≤ 2a2 x ≤2a

解得a≤x≤2a．
故y关于x的函数关系式为y=

x2+ 4a4 x2 -2a2

(a≤x≤2a)．
（2）令t=x²，则a²≤t≤2a²，且y=

t+ 4a4 t -2a2

．
设f(t)=t+

4a4

t

(t∈[a2，4a2])．
若a²≤t₁＜t₂≤2a²，则f(t1)-f(t2)=

(t1-t2)(t1t2-4a4)

t1t2

＞0
所以f（t）在[a²，2a²]上是减函数．同理可得f（t）在[2a²，4a²]上是增函数．
于是当t=2a²即x=

2

a时，ymin=

2

a，此时DE∥BC，且AD=

2

a．
当t=a²或t=4a²即x=a或2a时，ymax=

3

a，此时DE为AB或AC上的中线．
故当取AD=

2

a且DE∥BC时，DE最短；当D与B重合且E为AC中点，或E与C重合且D为AB中点时，DE最长．