题目内容
已知椭圆,、是其左右焦点,离心率为,且经过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若、分别是椭圆长轴的左右端点,为椭圆上动点,设直线斜率为,且,求直线斜率的取值范围;
(3)若为椭圆上动点,求的最小值.
(1)椭圆的方程为;(2)直线的斜率的取值范围是;
(3)的最小值是.
解析试题分析:(1)利用离心率以及确定、之间的等量关系,然后将点的坐标代入椭圆的方程求出、,从而确定椭圆的标准方程;(2)设直线的斜率为,并设点的坐标为,利用点在椭圆上以及斜率公式得到,进而利用的取值范围可以求出的取值范围;(3)利用已知条件,利用余弦定理得到,结合基本不等式求出的最小值.
试题解析:(1),故椭圆的方程为;
(2)设的斜率为,设点,
则,,
及,
则= 又,
,故斜率的取值范围为;
(3)设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为、、,则有
,,,,
由椭圆定义,有,
的最小值为.
(当且仅当时,即取椭圆上下顶点时,取得最小值)
考点:1.椭圆的标准方程;2.点差法;3.余弦定理;4.基本不等式
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