Question

用数学归纳法证明：1+2+2²+…2^n-1=2ⁿ-1（n∈N）的过程中，第二步假设当n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到

1. A.
   1+2+2²+…+2^k-2+2^k+1-1
2. B.
   1+2+2²+…+2^k+2^k+1=2^k-1+2^k+1
3. C.
   1+2+2²+…+2^k-1+2^k+1=2^k+1-1
4. D.
   1+2+2²+…+2^k-1+2^k=2^k-1+2^k

Answer 1

D
分析：只要将n=k+1代入式子：1+2+2²+…2^n-1=2ⁿ-1中即可，注意左边中最后一项是2^k．
解答：∵将式子：1+2+2²+…2^n-1=2ⁿ-1中n用k+1替换得：
当n=k+1时，有1+2+2²+…+2^k-1+2^k=2^k-1+2^k
故选D．
点评：数学归纳法的基本形式：
设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n₀）成立（奠基）；2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立．