Question

若函数y=f（x）在其图象上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为自公切线，下列函数存在自公切的序号为

②③

；
①y=ln|x+1|；  ②y=x²-|x|；③y=xcosx；④y=

x2-1

．

Answer 1

分析：利用新定义，①y=ln|x+1|在（-∞，0）上单调减，（0，+∞）上单调增，不存在自公切线；②y=x²-|x|是偶函数，图象对称的顶点的坐标为(

1

2

，-

1

4

)，(-

1

2

，-

1

4

)，存在自公切线y=-

1

4

；③y=xcosx是奇函数，导函数为y′=cosx-xsinx，则x轴为函数的自公切线；④y=

x2-1

的图象为x²-y²=1x轴上方的部分，不存在自公切线，故可得到结论．

解答：解：①y=ln|x+1|在（-∞，0）上单调减，（0，+∞）上单调增，不存在自公切线，故①不存在；
②y=x²-|x|是偶函数，图象对称的顶点的坐标为(

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2

，-

1

4

)，(-

1

2

，-

1

4

)，存在自公切线y=-

1

4

；
③y=xcosx是奇函数，导函数为y′=cosx-xsinx，则x轴为函数的自公切线；
④y=

x2-1

的图象为x²-y²=1x轴上方的部分，不存在自公切线，故④不存在，
故答案为：②③

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及新定义自公切线，题目比较新颖，解题的关键是理解新的定义，属于中档题．