Question

若数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2且S_n+1=4a_n-2（n=1，2，3…）．
（I）求a₂，a₃；
（II）求证：数列{a_n-2a_n-1}是常数列；
（III）求证：

a1-1

a2-1

+

a2-1

a3-1

+…+

an-1

an+1-1

＜

n

2

．

Answer 1

分析：（1）由S_n+1=4a_n-2（n=1，2，3），知S₂=4a₁-2=6．所以a₂=S₂-a₁=4．a₃=8．
（2）由S_n+1=4a_n-2（n=1，2，3），知S_n=4a_n-1-2（n≥2）；所以a_n+1=4a_n-4a_n-1由此入手能推导出数列{a_n-2a_n-1}是常数列．
（3）由题设条件知a_n=2ⁿ，所以

an-1

an+1-1

=

2n-1

2n+1-1

=

1

2

•

2n-1

2n- 1 2

＜

1

2

．由此及彼可知

a1-1

a2-1

+

a2-1

a3-1

++

an-1

an+1-1

＜

1

2

+

1

2

++

1

2

=

n

2

．

解答：解：（1）∵S_n+1=4a_n-2（n=1，2，3），∴S₂=4a₁-2=6．∴a₂=S₂-a₁=4．（2分）
同理可得a₃=8．（3分）
（2）∵S_n+1=4a_n-2（n=1，2，3），∴S_n=4a_n-1-2（n≥2）．（4分）
两式相减得：a_n+1=4a_n-4a_n-1（5分）
变形得：a_n+1-2a_n=2a_n-4a_n-1=2（a_n-2a_n-1）（n≥2）
则：a_n-2a_n-1=2（a_n-1-2a_n-2）（n≥3）（6分）
a_n-2a_n-1=2（a_n-1-2a_n-2）=2²（a_n-2-2a_n-3）=2³（a_n-3-2a_n-4）
=2^n-2（a₂-2a₁）∵a₂-2a₁=0∴a_n-2a_n-1=2^n-2（a₂-2a₁）=0．
数列{a_n-2a_n-1}是常数列．（9分）
（3）由（II）可知：a_n=2a_n-1（n≥2）．
数列{a_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列．∴a_n=2ⁿ，（10分）
∴

an-1

an+1-1

=

2n-1

2n+1-1

=

1

2

•

2n-1

2n- 1 2

＜

1

2

．（12分）

a1-1

a2-1

+

a2-1

a3-1

++

an-1

an+1-1

＜

1

2

+

1

2

++

1

2

=

n

2

．（14分）

点评：本题考查数列的性质及综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．