Question

已知函数 f（x）=3x²-6x-5．
（Ⅰ）求不等式 f（x）＞4的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜x²-（2a+6）x+a在x∈[1，3]上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）-2x²+mx+5-6m（m∈R），记区间D=（1-m，m+15），若不等式g（x）＜0的解集为M，且D∩M=∅，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据已知中函数解析式，化简不等式 f（x）＞4，进而根据二次不等式的解法，可得不等式 f（x）＞4的解集；
（Ⅱ）根据已知中函数解析式，化简不等式f（x）＜x²-（2a+6）x+a，根据二次函数的图象及性质，可得函数在区间[1，3]上恒成立，即函数在区间两端点的函数值均为负，构造不等式组，可得实数a的取值范围；
（Ⅲ）根据已知中函数解析式，化简不等式g（x）＜0，结合D=（1-m，m+15），且D∩M=∅，分类讨论求出满足条件的实数m的取值范围．
解答：解：（I）不等式 f（x）＞4
即3x²-6x-9＞0
解得x＞3，或x＜-1
∴不等式 f（x）＞4的解集为（-∞，-1）∪（3，+∞）
（II）若不等式f（x）＜x²-（2a+6）x+a在x∈[1，3]上恒成立，
即不等式2x²+2ax-5-a＜0在x∈[1，3]上恒成立，
令h（x）=2x²+2ax-5-a
则，即
解得a＜
（III）∵g（x）=f（x）-2x²+mx+5-6m=x²+（m-6）x-6m
∴当g（x）=0时，x=6，或x=-m
当-m＞6，即m＜-6时，不等式g（x）＜0的解集M=（6，-m）
∵D=（1-m，m+15），且D∩M=∅，
∴，
∴-7＜m＜-6
当-m=6，即m=-6时，不等式g（x）＜0的解集M=∅
满足D∩M=∅，
当-m＜6，即m＞-6时，不等式g（x）＜0的解集M=（-m，6）
∵D=（1-m，m+15），且D∩M=∅，
∴，
∴-6＜m≤-5
综上可得实数m的取值范围为-7＜m≤-5
点评：本题考查的知识点是函数的恒成立问题，一元二次不等式的解法，函数的交集运算，其中熟练掌握二次函数的图象和性质并能用之解答一元二次不等式问题是解答的关键．