题目内容

已知圆Mx2+y2-2tx-6t-10=0，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），若椭圆C与x轴的交点A（5，y0）到其右准线的距离为
10
3
；点A在圆M外，且圆M上的点和点A的最大距离与最小距离之差为2．
（1）求圆M的方程和椭圆C的方程；
（2）设点P为椭圆C上任意一点，自点P向圆M引切线，切点分别为A、B，请试着去求
P
A•
P
B的取值范围；
（3）设直线系M：xcosθ+（y-3）sinθ=1（θ∈R）；求证：直线系M中的任意一条直线l恒与定圆相切，并直接写出三边都在直线系M中的直线上的所有可能的等腰直角三角形的面积．
分析：（1）由题意得到a=5，由A到椭圆右准线的距离等于
10
3
得到c的值，由b2=a2-c2求出b2，则椭圆方程可求，再由圆M上的点和点A的最大距离与最小距离之差为2，即圆的半径等于1求出t的值，则圆的方程可求；
（2）因为圆M的圆心在椭圆的左焦点上，而椭圆上的点中，到左焦点距离最近的点是左顶点，距离最远的点是右顶点，探索发现P点位于左顶点时
P
A•
P
B的值最小，P点位于椭圆右顶点时
P
A•
P
B的值最大；
（3）由点到直线距离公式可知，点（0，3）到直线xcosθ+（y-3）sinθ=1（θ∈R）的距离等于1，由此说明直线系M中的任意一条直线l恒与定圆x2+（y-3）2=1相切，作图分析出能够构成等腰直角三角形的所有类型，利用平面几何知识求出每一种等腰直角三角形的腰，则面积可求．
解答：（1）解：由题意可知a=5，且
a2
c
-a=
10
3
，把a=5代入解得c=3，所以b2=a2-c2=16，
所以椭圆C的方程为
x2
25
+
y2
16
=1．
由x2+y2-2tx-6t-10=0，得（x-t）2+y2=t2+6t+10，所以该圆的圆心在x轴上，
因点A在圆M外，且圆M上的点和点A的最大距离与最小距离之差为2，即圆的半径等于1，
所以t2+6t+10=1，解得t=-3，
所以圆M的方程为（x+3）2+y2=1；
（2）解：如图，
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因为圆M的圆心位于椭圆的左焦点上，且圆在椭圆内部，
所以椭圆的左顶点到圆M的圆心距离最近，则点P位于椭圆左顶点时|
PA
|=|
PB
|最小，且∠APB最大，则cos＜
PA
，
PB
＞最小．当P位于椭圆右顶点时|
PA
|=|
PB
|最大，且∠APB最小，则cos＜
PA
，
PB
＞最大．
当P位于椭圆左顶点时，由图可知两条切线长为
3
，两切线夹角为60°，余弦值为
1
2
．当P位于椭圆右顶点时，由图可知两条切线长为
63
，两切线夹角一半的正弦值为
1
8
，两切线夹角余弦值为1-2×(
1
8
)2=
31
32
．
所以
P
A•
P
B的最小值为|
PA
||
PB
|COS60°=
3
×
3
×
1
2
=
3
2
．最大值为
63
×
63
×
31
32
=
1953
32
．
所以
P
A•
P
B的取值范围是[
3
2
，
1953
32
]；
（3）证明：因为xcosθ+（y-3）sinθ=1，所以点P（0，3）到M中每条直线的距离d=
1
cos2θ+sin2θ
=1，
即M为圆C：x2+（y-3）2=1的全体切线组成的集合，所以直线系M中的任意一条直线l恒与定圆
C：x2+（y-3）2=1相切．
三边都在直线系M中的直线上的所有可能的等腰直角三角形的情况有三种，一种是三角形外切于圆，另外两种是
圆在三角形外部．
如图，
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等腰直角三角形ABC的腰AB=2+
2
，其面积S=
1
2
×(2+
2
)×(2+
2
)=3+2
2
；
等腰直角三角形ADE的腰AD=2-
2
，其面积S=
1
2
×(2-
2
)×(2-
2
)=3-2
2
；
等腰直角三角形GHC的腰GC=
2
，其面积S=
1
2
×
2
×
2
=1．
点评：本题考查了圆与椭圆的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，该题考查了学生的探索思维能力和发散思维能力，属难题．
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2±
2
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