Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x²+a，（a为常数），直线l与函数f（x）、g（x）=的图象都相切，且l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1．
（1）求直线l的方程及a的值；
（2）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（注：g′（x）是g（x）的导函数），求h（x）的单调递增区间；
（3）当k∈R时，试讨论方程f（1+x²）-g（x）=k的解的个数．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数，由切线l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线l的斜率，把x=1代入f（x）中求出的函数值即为切点的纵坐标，进而得到切点的坐标，根据切点坐标和斜率写出直线l的方程，又直线l与g（x）的图象相切，联立两解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，得到此方程的根的判别式等于0，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）求出g（x）的导函数，求出f（x+1），代入h（x）=f（x+1）-g′（x）中确定出h（x），求出h（x）的导函数，令导函数大于0，求出x的取值范围即为函数h（x）的单调增区间；
（3）把（1）中求出的a的值代入确定出g（x），求出f（1+x²），设y₁等于方程的左边，y₂等于方程的右边，求出y₁的导函数，令导函数等于0求出x的值，利用x的值分区间讨论导函数的正负进而得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的极大值和极小值，根据求出的极大值和极小值分区间即可得到方程解的个数．

解答：解：（1）由f′（x）=

1

x

，把x=1代入得：f′（1）=1，
故直线l的斜率为1，切点坐标为（1，f（1）），即（1，0），
所以直线l的方程为：y=x-1，
∴直线l与y=g（x）的图象相切等价于方程组

y=x-1 y= 1 2 x2+a

只有一解，
即方程

1

2

x²-x+a+1=0有两个相等实根，
∴△=1-4×

1

2

（a+1）=0，解得a=-

1

2

；
（2）由g′（x）=x，f（x+1）=ln（x+1），
得到：h（x）=ln（x+1）-x（x＞-1），由h′（x）=

1

x+1

-1=-

x

x+1

，
令h′（x）＞0，即

x

x+1

＜0，解得：-1＜x＜0，
当x∈（-1，0）时，h（x）是增函数．即h（x）的单调递增区间为（-1，0）；
（3）由（1）知g（x）=

1

2

x²-

1

2

，令y₁=f（1+x²）-g（x）=ln（1+x²）-

1

2

x²+

1

2

，y₂=k，
由y′₁=

2x

1+x2

-x=

x(1-x)(x+1)

1+x2

，令y′₁=0，解得：x=0，-1，1
当x变化时，y′₁和y₁的变化关系如下表：

据此可知：当k=

1

2

时，方程有三解；
当k∈（

1

2

，ln2）时，方程有四解；
当k=ln2或k∈（-∞，

1

2

）时，方程有两解；
当k∈（ln2，+∞）时，方程无解．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负得到函数的单调区间，会利用导数研究函数的极值，是一道中档题．