Question

（2013•东城区一模）已知函数f（x）=（x²+ax+a）e^-x，（a为常数，e为自然对数的底）．
（Ⅰ）当a=0时，求f′（2）；
（Ⅱ）若f（x）在x=0时取得极小值，试确定a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设由f（x）的极大值构成的函数为g（a），将a换元为x，试判断曲线y=g（x）是否能与直线3x-2y+m=0（ m为确定的常数）相切，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=0代入函数解析式，求导后直接把x=2代入导函数解析式计算；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，解出导函数的零点为0或2-a，分2-a=0、2-a＞0、2-a＜0三种情况讨论导函数在不同区间内的符号，判出极小值点，从而得到使f（x）在x=0时取得极小值的a的取值范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）中的条件，能够得到x=2-a是f（x）的极大值点，求出f（2-a），得到g（x），两次求导得到函数
g（x）的导数值小于1，而直线3x-2y+m=0的斜率为

3

2

，说明曲线y=g（x）与直线3x-2y+m=0不可能相切．

解答：解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=x²e^-x，f'（x）=2xe^-x-x²e^-x=xe^-x（2-x）．
所以f'（2）=0．
（Ⅱ）f'（x）=（2x+a）e^-x-e^-x（x²+ax+a）=e^-x[-x²+（2-a）x]=-e^-x•x[x-（2-a）]．
令f'（x）=0，得x=0或x=2-a．
若2-a=0，即a=2时，f'（x）=-x²e^-x≤0恒成立，
此时f（x）在区间（-∞，+∞）上单调递减，没有极小值；
当2-a＞0，即a＜2时，
若x＜0，则f'（x）＜0．
若0＜x＜2-a，则f'（x）＞0．
所以x=0是函数f（x）的极小值点．
当2-a＜0，即a＞2时，
若x＞0，则f'（x）＜0．
若2-a＜x＜0，则f'（x）＞0．
此时x=0是函数f（x）的极大值点．
综上所述，使函数f（x）在x=0时取得极小值的a的取值范围是a＜2．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a＜2，且x＞2-a时，f'（x）＜0，
因此x=2-a是f（x）的极大值点，极大值为f（2-a）=（4-a）e^a-2．
所以g（x）=（4-x）e^x-2（x＜2）．
g'（x）=-e^x-2+e^x-2（4-x）=（3-x）e^x-2．
令h（x）=（3-x）e^x-2（x＜2）．
则h'（x）=（2-x）e^x-2＞0恒成立，即h（x）在区间（-∞，2）上是增函数．
所以当x＜2时，h（x）＜h（2）=（3-2）e^2-2=1，即恒有g'（x）＜1．
又直线3x-2y+m=0的斜率为

3

2

，
所以曲线y=g（x）不能与直线3x-2y+m=0相切．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数模型的选择，考查了函数存在极值点的条件，需要注意的是，函数在极值点处的导数一定等于0，但导数为0的点不一定是极值点，此题有一定难度．