Question

6．在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，-a），P是函数y=$\frac{1}{x}$（x≥1）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为$\sqrt{10}$，则满足条件的实数a的所有值为-2或2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设点P（x，$\frac{1}{x}$），利用两点间的距离公式可得|PA|，讨论对称轴和区间的关系，利用二次函数的单调性即可得出a的值．

解答 解：设点P（x，$\frac{1}{x}$），则|PA|=$\sqrt{（x-a）^{2}+（\frac{1}{x}+a）^{2}}$
=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-2a（x-\frac{1}{x}）+2{a}^{2}}$=$\sqrt{（x-\frac{1}{x}）^{2}-2a（x-\frac{1}{x}）^{2}+2{a}^{2}+2}$，
令t=x-$\frac{1}{x}$，∵x≥1，∴t≥0，
令g（t）=t²-2at+2a²+2=（t-a）²+a²+2，
①当a≤0时，g（t）在[0，+∞）递增，
t=0时，g（t）取得最小值g（0）=2+2a²=（$\sqrt{10}$）²，解得a=-2（2舍去）；
②当a＞0时，g（t）在区间[0，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，
∴t=a，g（t）取得最小值g（a）=a²+2，
∴a²+2=（$\sqrt{10}$）²，解得a=2$\sqrt{2}$（-2$\sqrt{2}$舍去）．
综上可知：a=-2或2$\sqrt{2}$．
故答案为-2或2$\sqrt{2}$．

点评 本题综合考查了两点间的距离公式、二次函数的单调性等基础知识和基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力．