题目内容

20.己知a,b,c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边,A,B,C成等差数列.
(1)若a=1,b=$\sqrt{3}$,求sin C;
(2)若a,b,c成差数列,求证:△ABC是等边三角形.

分析 (1)利用等差数列、三角形的内角和定理可得B,利用正弦定理可得A,进而得到C;
(2)利用等差数列与余弦定理即可得出.

解答 解:(1)由$A+B+C=π,2B=A+C,得B=\frac{π}{3}$.
$由\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB},得\frac{1}{sinA}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}},得sinA=\frac{1}{2}$.
又0<A<B,∴$A=\frac{π}{6}$,∴$C=π-\frac{π}{3}-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$.
∴sinC=1.
(2)证明:由2b=a+c,得4b2=a2+2ac+c2
∴又b2=a2+c2-ac.
∴4(a2+c2-ac)=a2+2ac+c2
化为3(a-c)2=0,
∴$a=c.\end{array}$
∴$A=C,又A+C=\frac{2π}{3}$,∴$A=C=B=\frac{π}{3}$.
∴△ABC是等边三角形.

点评 本题考查了等差数列、三角形的内角和定理、正弦定理余弦定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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